Cara Menggambar Grafik Di Dalam Koordinat Polar atau Koordinat Kutub

Cara Menggambar grafik di dalam koordinat polar

Sesuai dengan janji yang pernah saya tulis di postingan sebelumnya yakni di Cara menggambar Grafik Dua Dimensi Di Koordinat Kartesius. Kali ini kita akan belajar bersama tentang bagaimana sih caranya menggambar grafik di koordinat kutub atau sering kita sebut dengan koordinat polar? Karena fakta yang saya temui banyak di antara mahasiswa-mahasiswa, bahkan mahasiswa jurusan matematika sekalipun yang tidak bisa menggambar grafik fungsi polar.

Sebelum memasuki sub bahasan cara menggambar grafik dalam koodinat polar, tentu kita semua sudah tahu dong tentang koordinat polar? Atau mungkin kita lebih familiar dengan koordinat kutub. Ok, untuk mengakomodasi semua kalangan, akan saya jelaskan deh definisi dasar penyajian fungsi x dari koordinat kartesius ke dalam fungsi polar. Sama seperti di dalam koordinat kartesius di dalam koordinat polar juga terdapat 2 variabe. Kalau kita sudah familiar dengan koordinat kartesius kita mengenal variabel x yang lebih sering kita temui sebagai variabel bebas (meskipun di dalam kasus tertentu juga bisa berbentuk variabel terikat) dan variabel y sebagai variabel terikat. Di dalam koordinat polar pun juga dikenal dua variabel yaitu r dan θ. r lebih sering berperan sebagai variabel terikat (variabel yang nilainya ditentukan oleh variabel bebas) dan θ lebih sering kita temui sebagai variabel bebas. Sehingga sering kita jumpai fungsi polar r=f(θ).

Nah, sekarang apa hubungan antara variabel-variabel x dan y di dalam koordinat kartesius dengan r dan θ dalam koordinat polar? Hayo.. apa..?

Hubungan antara sistem koordinat kartesius dengan kutub atau polar adalah:

x=r cosθ dan y=r sinθ

Dengan r²=x² + y² dan θ= arctg (y/x).

Diamana r= radius atau jarak titik pangkal dengan titik dan θ= besar sudut dari sumbu x.

Fungsi koordinat kutub dinyatakan r=f(θ) atau F(r,θ)=0

Misal: kita telah mengetahui bahwa persamaan lingkaran berjari-jari a dan berpusat di O(0,0) di dalam koordinat kartesius adalah x² + y² = a². Maka dengan mensubtitusikan x=r cosθ dan y=r sinθ Ke dalam persamaan tersebut maka didapat:

(r cosθ)² + (r sinθ)²= a²

r² cosθ² + r² sinθ²= a²

r²( cosθ² + sinθ²)= a²

r².( 1)= a²

r=a

r=a adalah persamaan lingkaran berjari-jari a dan berpusat di O(0,0) di dalam koordinat kutub atau koordinat polar.

Ok kan?Nah, sekarang saya beri tantangan sedikit ya..

Tentukan persamaan lingkaran berjari-jari a dan berpusat di O(0,a) di dalam koordinat kutub atau koordinat polar! (saya sarankan sebelum membuka spoiler kalian sudah menemukan jawabannya.. Ok?)

Jawaban:

Jawab:

persamaan lingkaran berjari-jari a dan berpusat di O(0,a) di dalam koordinat kutub atau koordinat kartesius adalah: X² + (y-a)² = a²

atau jika kita jabarkan menjadi X² + y² -2ay + a²= a² dan bisa kita sederhanakan menjadi X² + y² -2ay =0

Maka dengan mensubtitusikan X=r cosθ dan y=r sinθ Ke dalam persamaan tersebut maka didapat:

(r cosθ)² + (r sinθ)² -2.a. r sinθ =0

r² cosθ² + r² sinθ²=2 a r sinθ

r²( cosθ² + sinθ²)= 2 a r sinθ

r².( 1)= 2 a r sinθ

r²= 2 a r sinθ

r= 2 a sinθ

r= 2 a sinθ adalah persamaan lingkaran berjari-jari a dan berpusat di O(0,a) di dalam koordinat kutub atau koordinat polar.

Mudah kan?

Sekarang kita langsung memasuki tahap pembuatan grafik di dalam koordinat polar atau koordinat kutub.

Sebenarnya prinsi langkah pembuatan grafik pada koordinat polar sama yakni kita tentukan berapa besar nilai variabel bebas atau θ—yakni dengan menentukan besarnya sudut, yang diukur dari sumbu horizontal (atau sumbu-x) kemudian memutar berlawanan arah jarum jam sebesar θ— kemudian kita cari panjang r.

Contoh: Persamaan lingkaran berjari-jari 3 dan berpusat di O(0,0) di dalam koordinat kutub atau koordinat polar adalah r= 3. Jika dengan 0< θ< 2∏ maka langkah-langkahnya pembuatan grafik sebagai berikut:

Kita boleh memakai bantuan tabel untuk menetukan pasangan besarnya sudut dengan besar radius

	r= 3.
θ	0	∏/6	∏/4	∏/3	∏/2	2/3∏	∏	3/2∏	2∏
r	3	3	3	3	3	3	3	3	3
(θ,r)	(0,3)	(∏/6,3)	(∏/4,3)	(∏/3,3)	(∏/2,3)	(2/3∏,3)	(∏,3)	(3/2∏,3)	(2∏,3)

Atau karena fungsi di atas merupakan fungsi konstan (panjang r tidak bergantung pada besar sudut bisa kita simpulkan bahwa setiap kita menarik nilai θ sebesar apapun maka akan kita dapatkan panjang r=3.)

Langkah-langkah Pembuatan Grafik:

Busur ditarik dari sumbu x sepanjang r=1 diputar berlawanan arah jarum jam sebesar ∏/6 atau 30 derajat

Kemudian diteruskan pembuatan busur berlawanan arah jarum jam dengan memperhatikan kekonsistenan panjang radius

Gimana? Mudah kan? Yuk kita masuk ke contoh lain yang lebih menantang, oraiit?

Contoh : r=cos² θ dengan 0< θ< 2∏

Sama langkahnya seperti di atas. Kita boleh memakai bantuan tabel untuk menetukan pasangan besarnya sudut denganjbesar radius

	r=cos² θ
θ	0	∏/6	∏/4	∏/3	∏/2	2/3∏	∏	3/2∏	2∏
r	1	3/4	1/2	1/4	0	1/4	1	0	1
(θ,r)	(0,3)	(∏/6,3)	(∏/4,3)	(∏/3,3)	(∏/2,3)	(2/3∏,3)	(∏,3)	(3/2∏,3)	(2∏,3)

Perhatikan tahap-tahap berikut ini:

Busur ditarik dari sumbu x sepanjang r=3/4 diputar berlawanan arah jarum jam sebesar ∏/6 atau 30 derajat

Pembuatan busur dilanjutkan sampai sudut 45 derajat atau pi/4 dengan panjang radius r=1/2

Pembuatan busur dilanjutkan sampai sudut 60 derajat atau pi/3 dengan panjang radius r=1/4

Pembuatan busur dilanjutkan sampai sudut 90 derajat atau pi/2 dengan panjang radius r=0

Pembuatan busur dilanjutkan sampai sudut 120 derajat atau 2.pi/3 dengan panjang radius r=1/4

Pembuatan busur dilanjutkan sampai sudut 180derajat atau pi dengan panjang radius r=1

Pembuatan busur dilanjutkan sampai sudut 270 derajat atau 3pi/2 dengan panjang radius r=0

Pembuatan busur dilanjutkan sampai sudut 360 derajat atau 2pi dengan panjang radius r=1

Bagaimana? Sangat mudah bukan? Jelas lah... sekarang latihan yak….

Tentukan grafik polar berikut dengan 0< θ< 2∏

a. r= 2 + 2 cos θ

b. r = θ²

c. r= (log θ)² ^{d. r =2 + 2 Sin² θ} ^{e. r =}^{Sin² θ}

^{Sumber: http://pujiyanto-matematika.blogspot.com/2012/11/cara-menggambar-grafik-di-dalam.html}

Anak Jarum

Cara Menggambar Grafik Di Dalam Koordinat Polar atau Koordinat Kutub