A.
Sejarah
Bilangan Bangsa Mesir
Mesir memiliki
peradaban yang cukup tinggi sejak zaman dahulu. Mesir sangat cocok digunakan
sebagai tempat tinggal, karena tanah yang subur berkat adanya sungai Nil dan
iklim yang mendukung. Mesir juga merupakan sebuah Negara yang dapat bertahan
dari serangan luar karena dikelilingi oleh padang pasir yang luas yang menjadi
penghalang alami dari serangan musuh. Oleh karena itu, Mesir mengalami masa
damai yang sangat lama ketika peradabannya meningkat sangat pesat.
Sejak
3000 SM dua Negara bersatu membentuk sebuah negara Mesir di bwah satu
pemerintahan. Pertanian telah dikembangkan dengan memenfaatkan masa basahdan
kering dalam setahun. Sungai Nil
mengalami banjir selama musim hujan yang menyediakan tanah yang subur
untuk bercocok tanam.Dengan mengetahui kapan musim hujan akan datang sangatlah
pentingdan penelitian tentang astronomi berkembang untuk menyediakan informasi
kalender. Wilayah yang luas yang dikuasai oleh negara Mesir menuntut pemerintah
yang kompleks, suatu sistem pajak, dan angkatan bersenjata yang memadai.
Sejalan dengan semakin kompleksnya masyarakat,maka membutuhkan catatan –
catatan, dan perhitungan dijalankan ketika orang saling bertukar barang mereka.
Kebutuhan akan perhitungan meningkat, yang kemudian membutuhkan penulisan dan
system bilangan untuk mencatat transaksi.
Sejak
3000 SM bangsa Mesir telah mengembangkan penulisan hieroglyph-nya. Hal tersebut
menandai awal masa Kerajaan Tua dimana pyramid – pyramid dibangun. Misalnya
adalah Great Pyramid di Gia dibangun sekitar 2650 SM dan pyramid ini merupakan
prestasi yang luar biasa dalam ilmu rekayasa. Keterangan tersebut memberikan
petunjuk yang paling jelas bahwa masyar kat pada masa itu telah mencapai
tingkat pencapaian yang tinggi.
Hyeroglyphs
untuk menulis dan menghitung memunculkan suatu skrip hieratik untuk menulis dan
system bilangan . Sistem bilangan bangsa Mesir tidak cukup sesuai untuk perhitungan aritmaik. Kita sekarang masih akrab dengan
system bilangan Romawi dan mudah
dipahami bahwa meskipun operasi penambahan dalam bilangan Romawi cukup
memuaskan, namun perkalian dan pembagian dirasa mustahil. Sistem Mesir memiliki
keterbatasan yang serupa dengan system bilangan Romawi. Namun bangsa Mesir
sangat praktis dalam pendekatannyakepada matematika dan perdagangan mereka
menuntut mereka untuk dapat menangani pembagian. Perdagangan juga menuntut
perkalian dan pembagian untuk dilakukan sehingga mereka membagi metode-metode
yang hebat untuk mengatasi kekurangan dalam system bilangan yang mereka hadapi.
Secara mendasar mereka harus membagi metode-metode perkalian dan pembagian
dengan hanya menggunakan penambahan.
Sistem
bilangan hieroglyphs dapat ditemukan di kuil, monument batu dan vas-vas bunga.
Mereka memberikan sedikit pengetahuan tentang perhitungan matematika yang dapat
dkerjakan dengan system bilangan. Hieroglyphs ini dipahat pada batu namun tidak
diperlukan untuk mengembangkan symbol
yang dapat ditulis secara lebih cepat. Namun sekali bangsa Mesir mulai
menggunakan lembaran dari papyrus kering sebagai “kertas” dan ujungnya sebagai
“pena” maka terdapat alas an bagi penulisan unuk berkembang. Hal ini memulai
perkembangan daripenulisan dan system bilangan hieratik.
Terdapat
sejumlah besar papyrus, banyak diantaranya tekait dengan matematika dalam
berbagai dalam berbagai bentuk, namun sayang karena bahan yang digunakan rapuh
sehingga hamper seluruhnya telah musnah. Namun sungguh ajaib bahwa beberapa
diantaranya bertahan sampai sekarang, akibat dari kondisi kering di Mesir. Dua
dokumen utama tentang matematika bertahan sampai sekarang. Suatu contoh tentang
matematika bangsa Mesir tertulis pada papyrus Rhind dan papyrus Moskow, dengan
suatu terjemahan ke dalam skrip hieratic.
B.
Matematika
dalam Papirus Mesir
Ahmes, pada papyrus
Rhind, menggambarkan metode bangsa Mesir dalam menggunakan kelipatan. Anggaplah
kita akan mengalikan 41 dengan 59. Ambil angka 59dan tambahkan angka itu dengan
angka itu sendiri, lalu tambahkan jawaban dari penambahan sebelumnya dan terus:
|
41
|
59
|
|
|
1
|
59
|
|
|
2
|
118
|
|
|
4
|
236
|
|
|
8
|
472
|
|
|
16
|
944
|
|
|
32
|
1888
|
|
karena
64 > 41, maka tidak perlu melebihi entri 32.
Sekarang menuju pada pengurangan angka
41 –
32 = 9, 9 – 8 = 1, 1 – 1 = 0
untuk mengetahui 41 = 32 + 8 + 1.
Lalu periksa angka pada kolom sebelah kanan yang sesuai pada 32, 8, 1 dan
tambahkan mereka.
|
41
|
59
|
|
|
1
|
59
|
|
|
2
|
118
|
|
|
4
|
236
|
|
|
8
|
472
|
|
|
16
|
944
|
|
|
32
|
1888
|
|
|
|
2419
|
|
Perhatikan
bahwa kelipatan tersebut dihasilkan hanya dengan penambahan, perhatikan juga
hal ini adalah penggunaan awal aritmatika biner (lihat di bawah). Dengan
membalikkan factor kita dapat menemukan:
|
59
|
41
|
|
|
1
|
41
|
|
|
2
|
82
|
|
|
4
|
164
|
|
|
8
|
328
|
|
|
16
|
656
|
|
|
32
|
1312
|
|
|
|
2419
|
|
Perhatikan
agar metode ini dapat digunakan kita harus mengetahui angka sebenarnya adalah
penjumlahan dari eksponen 2. Bangsa Mesir dahulu tidak punya bukti akan hal
ini, atau terlalu mementingkan pada bukti. Mereka hanya mengetahui berdasarkan
pengalaman bahwa secara praktis hal tersebut dapat digunakan . Pada dasarnya,
kita dapat menggunakan metode tersebut seperti menulis salah satu angka yang
berdasar 2. Seperti contoh di atas kita dapat menulis
|
|
|
|
dan
|
|
|
|
|
Pada
pembagian juga menggunakan perkalian. Misalnya untuk membagi 1495 dengan 65
digunakan cara:
|
1
|
65
|
|
2
|
130
|
|
4
|
260
|
|
8
|
520
|
|
16
|
1040
|
Kita
berhenti pada angka tersebut karena perkalian selanjutnya, akan mlebihi dari
1495. Marilah kita melihat angka pada kolom sebelah kanan yang ditambahkan
lebih dari 1495. Perhatikan 1040 + 260 + 130 + 65 = 1495 dan kita tandai baris
yang terdapat angka tersebut:
|
1
|
65
|
|
2
|
130
|
|
4
|
260
|
|
8
|
520
|
|
16
|
1040
|
Sekarang tambahkan angka pada kolom
di sebelah kiri yang telah ditandai:
16 + 4 + 2 + 1 = 23
Maka
1495 dibagi 65 adalah 23
Bagaimana
jika angka tersebut tidak terbagi secara benar? Maka metode bangsa Mesir akan
menghasilkan bilangan pecahan, seperti contoh berikut.
Untuk membagi 1500 dengqn 65 adalah:
|
1
|
65
|
|
2
|
130
|
|
4
|
260
|
|
8
|
520
|
|
16
|
1040
|
Sekali
lagi kita berhenti karena perkalian selanjutnya akan melebihi dari 1500.
Sekarang lihatlah angka yang terdapat pada kolom sebelah kanan yang ditambahkan
dengan n dimana 1500 – 65 < n ≤ 1500. Bangsa Mesir mengetahui hal ini selalu
mungkin. Hal ini terbukti sebagai berikut:
1040 +260 + 130 + 65 +
= 1495
dan
kita kurang 5 dari penjumlahan kita. Sekali lagi tandai barisnya dengan entri:
|
1
|
65
|
|
2
|
130
|
|
4
|
260
|
|
8
|
520
|
|
16
|
1040
|
Sekarang
tambahkan angka di kolom sebelah kiri dengan barisnya yang sudah ditandai:
16 + 4 + 2 + 1 = 23,
Jadi
1500 dibagi 65 adalah 23 dan
=
Karena itu jawabannya adalah
.
Kita
dapat berlaku curang sedikit di sini untuk bilangan pecahan yang diperoleh dari
unit bilangan pecahan, yaitu angka yang ada dalam bentuk 1/n untuk bilangan bulat. Bangsa Mesir hanya punya bilangan pecahan
dengan tipe ini dan jika jawabannya tidak menngunakan unit bilangan pecahan
maka bangsa Mesir akan menulis bagian bilangan pecahan dengan jumlah unit
bilangan pecahan. Di bawah ini kita lihat hal ini dapat dikerjakan tetapi kita
menguji kasus yang lebih umum.
Masalah
selanjutnya adalah bagaimana kita dapat
mengkali dan membagi angka bilangan pecahan. Hal penting yang pertama adalah
bangsa Mesir hanya menggunakan kesatuan bilangan pecahan, kemampuan untuk
menghitung table diperlukan untuk dua kali mengubah sebuah bilangan pecahan
menjadi jumlah unit bilangan pecahan. Sekarang menggandakan bilangan pecahan
1/5terlihat mudah dengan menghasilkan jumlah pada unit bilangan pecahan 1/5 +
1/5. Akan tetapi, hal ini bukan cara mereka. Mereka dua kali menulis unit
bilangan pecahan sebagai jumlah yang beda dari unit bilangan pecahan. Sebagai
contoh, dua kali 1/5 akan ditulis 1/3 +1/5. Papirus Rhind memberikan table
untuk menggandakan unit bilangan pecahan 1/ndimana
n adalah bilangan ganjil, n antara 5 dan 101. Ahmes tidak perlu
memberikan hasil pengandaan 1/n untuk
n bilangan genap, karena dapat
berlaku 1/m dimana m = 2n.
Table
perkalian untuk unit bilangan pecahan mulai
Unit
fraction Double unit fraction
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sangat
menakjubkan bahwa tidak ada kesalahanpada tabel tersebut. Memang Ahmes adalah
seorang yang ahli menghitung dan hal ini bukan semata-mata latihan menduplikat
baginya. Ada beberapa kesalahan pada papyrus Rind tetapi kesalahan yang ada
pada penghitungan bukan pada menduplikasi, karena hasil yang salah terbawa
terus sedangkan apabila salah menduplikat maka hasilnya akan kembali benar.
Sebagai
contoh bagaimana menggunakan tabel, marilah kita menguji masalah 21 papirus
Rhind. Catat bahwa
diperbolehkan pada bilangan pecahan Mesir
walaupun bukan sebagai unit bilangan pecahan
Soal 21: Selesaikan
dan
pada 1
Di
zaman modern, hal ini menanyakan bilangan pecahan x seperti
Solusinya
adalah “menyingkirkan” bilangan pecahan dengan mengkalikannya. Pada ha ini tiap
bilangan pecahan dikalikan dengan 15 untuk mendapat
10 + 1 + y = 15
Hasil
ini disebut persamaan “red auxiliary” karena para ahli menulis pecahan tersebut
dengan tinta merah. Tentu saja hal ini tidak akan muncul dalam bentuk itu
tetapi cukup
“
menyelesaikan 10 dan 1 untuk 15”
Sekarang
jawaban persamaan red auxiliary adalah 4, jadi persamaan aslinya mempunyai
solusi dua kali × (dua kali ×
). Dari tabel perkalian kita dapat
melihat bahwa penggandaan
adalah
. Perkalian ini menghasilkan
yang merupakan solusi dari Soal 21.
Marilah
kita lihat cara mengalikan, menggunakan metode bangsa Mesir,
|
1
|
|
|
2
|
|
|
4
|
|
|
8
|
|
|
16
|
|
|
|
|
|
|
|
Sekarang baris yang
bermula dari
telah dihitung dari
dari 1 adalah
,
,
dari
adalah dua kali
yaitu
+
,
dari
adalah dua kali
yaitu
+
.
Selanjutnya
carilah angka yang ada di kolom disebelah kiri, dan di tambah samping 30 +
|
1
|
|
|
2
|
|
|
4
|
|
|
8
|
|
|
16
|
|
|
|
|
|
|
|
Tambahkan
entri di kolom sebelah kanan pada baris yang sudah ditandai untuk mendapat hasil kali
46 +
+
+
+
+
+
Perhatikan
bahwa solusi tersebut setara dengan
=
4
=
31605. Hasil ini dapat diterima jika seseorang mempertimbangkan tanggal kapan
hal ini ditemukan. Walaupun kita tidak dapat hal ini mengetahui secara pasti,
beberapa sepekulasi menarik telah dilontarkan. Gerdes mengemukakan tiga ide yang mungkin menjawab
mengapa bangsa Mesir dapat menemukan hasil tersebut [18]. Dua spekulasi
dikemukakan dengan memperhatikan kerajinan tangan Afrika di mana bentuk, ular,
dan satu set pusat cincin yang sama jauh sering terlihat. Dua bentuk geometri
ini tersebar di Afrika dan Gerdes mengemukakan bagaimana tersebut dapat
menuntun pada formula area lingkaran. Spekulasi terkenal di Afrika dan Mesir
kuno. Permainan tersebut membandingkan lingkaran kecil dengan lingkaran besar
da mungkin saja memberikan motivasi pada formula area.
C.
Sistem
Bilangan Mesir
Bangsa Mesir memiliki
sistem penulisan yang didasarkan pada hierogliphs dari
sekitar 3000 SM. Hieroglif adalah gambar kecil yang mewakili kata-kata. Sangat
mudah untuk melihat bagaimana mereka akan menunjukkan kata “burung” oleh gambar
burung kecil tetapi tanpa pengembangan lebih lanjut, sistem tulisan ini tidak
bisa mewakili banyak kata. Masalah ini diadopsi oleh orang Mesir kuno adalah
dengan berbicara menggunakan kata-kata. Misalnya, untuk menggambarkan dengan
kalimat “Aku mendengar anjing menggonggong” mungkin diwakili oleh :”Mata”,
“telinga”, “kulit pohon” + “kepala mahkota”, “anjing”.
Notasi
matematika Mesir Kuno bersifat desimal (berbasis 10) dan didasarkan pada
simbol-simbol hieroglyphs
untuk tiap nilai perpangkatan 10 (1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000)
sampai dengan sejuta. Tiap-tiap simbol ini dapat ditulis sebanyak apapun sesuai
dengan bilangan yang diinginkan; sehingga untuk menuliskan bilangan delapan
puluh atau delapan ratus, simbol 10 atau 100 ditulis sebanyak delapan kali.Dengan ini berarti
bahwa mereka memiliki simbol terpisah untuk satuan, puluhan, ratusan, ribuan,
puluh ribuan, ratus ribuan, dan jutaan.
1.
Bilangan hieroglyphs
untuk angka 1- 9 adalah sebagai berikut :
Untuk
menyatakan angka 276, misalnya, lima belas symbol di butuhkan: dua symbol
“ratusan”, tujuh symbol “puluhan”, dan enam symbol “satuan”. Sehingga angka ini
akan tampak sebagai berikut:
|
276
|
Contoh yang lain:
|
4622
|
Seperti
yang terlihat, penambahan dalam bilangan hieroglyphs adalah mudah. Kita hanya
menambah satu symbol namun mengganti sepuluh salinan dari satu symbol tunggal
dari nilai yang lebih tinggi berikutnya. Pembagian bagi bangsa mesir kuno
terbatas pada pembagian satuan (dengan pengecualian 2/3 yang sering digunakan
dan ¾ yang jarang digunakan). Suatu fraksi satuan berbentuk 1/n di mana n adalah suatu bilangan bulat dan dinyatakan dalam bilangan
hieoroglyphs dengan menempatkan symbol yang menyatakan “mulut”, yang berarti
“bagian”, di atas angka. Berikut adalah contohnya:
|
1/3
|
|
1/5
|
|
1/249
|
Perhatikan bahwa ketiga angkanya
mengandung terlalu banyak simboluntuk tanda “pembagian” untuk ditempatkan di
atas keseluruhan angka, seperti dalam 1/249, maka symbol “pembagian” hanya
diletakkan di atas “bagian pertama” angka. Bagian pertama dalam angka di sini
dibaca dari kanan ke kiri.
Harus perhatian bahwa hieroglyphs
tidak selalu sama selama dua ribu tahun lebih peradaban Mesir kuno. Peradaban
ini sering dibagi ke dalam tiga periode:
Kerajaaan
Tua – sekitar 2700 SM sampai 2200 SM
Kerajaan
Pertengahan – sekitar 2100 SM sampai 1700 SM
Kerajaan
Baru – sekitar 1600 SM sampai 1000 SM
Bilangan
hieroglyphs berbeda dalam masing-masing periode ini, namun memiliki pola yang
serupa.
Sistem
bilangan yang lain, yang digunakan oleh bangsa Mesir setelah penemuan penulisan
pada papyrus, disusun oleh bilangan hieratic. Bilangan-bilangan ini
memungkinkan angka-angka ditulis secara lebih singkat. Terdapat symbol-simbol
terpisah untuk
1,2,3,4,5,6,7,8,9
10,20,30,40,50,60,70,80,90
100,200,300,400,500,600,700,800,900
1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,8000,9000
2.
Bilangan
hieratic
Dengan
system ini angkadapat dibentuk dari sedikit symbol. Angka 9999 hanya memiliki
symbol hieratic dan bukan 36 simbol hieroglyphs. Satu perbedaan besar antara
bilangan hieratic dan sisitem bilangan kita adalah bilangan hieratic tidak
membentuk suatu system posisional sehingga angka-angka tertentu dapat
dituliskan dalam banyak susunan.
|
2765
|
Contoh penyusunan Bilangan hieratic
|
2765
|
Cara kedua menulis 2765
dalam bilangan hieratic dengan susunan terbalik
Seperti
hieroglyphs, symbol-simbol hieratic berubah setelah sekian waktu namun mereka
mengalami begitu banyak perubahan dalam enam periode. Awalnya symbol-simbol
yang digunakan cukup dekat dengan hieroglyphnya yang sesuai namun bentukmereka
semakin berubah. Versi yang disampaikantentang bilanganhieratik tertanggal
sekitar 1800 SM. Kedua system berjalan secara paralel selama sekitar 2000 tahun
dengan symbol hieratic digunakan dalam penulisan pada papyrus, seperti contoh
dalam papyrus Rhind dan papyrus Moskow, sedangkan hieroglyphs terus digunakan
ketika dipahat pada batu.
D.
Latihan
1. Ubahlah
bilangan dibawah ini kedalam bentuk bilangan hierogliphs Mesir kuno?
a. 554
b. 1342
2. Ubahlah
bilangan dibawah ini kedalam bentuk bilangan hieratic Mesir kuno?
a. 2611
b. 312
3.
Ubahlah lambang bilangan hieratic dibawah ini
kedalam bilangan modern?
|
a.
|
4. Carilah
hasil perkalian bilangan di bawah ini dengan metode bangsa Mesir?
a. 14×19
5. Carilah
hasil pembagian bilangan di bawah ini dengan metode bangsa Mesir?
a. 2324
: 83
Kunci
Jawaban :
1. a.
b.
2. a.
|
atau
|
b.
|
atau
|
3. 1945
4.
|
ruas
kiri
|
ruas
kanan
|
Pada ruas kiri 14 = 2 + 4 + 8
Jadi hasil dari 14×19 = 38 + 76 + 152
= 266
Karena yang sejajar dengan bilangan 2,
4, dan 8 adalah 38, 76, dan 152
|
|
1
|
19
|
|
|
2
|
38
|
|
|
4
|
76
|
|
|
8
|
152
|
5.
|
ruas
kiri
|
ruas
kanan
|
Pada
ruas kanan 2324 = 332 + 664 + 1328
Jadi
hasil dari 2324 : 83 = 4 + 8 +16 = 28
Karena
yang sejajar dengan bilangan 332, 664, dan 1328 adalah 4, 8, dan 16
|
|
1
|
83
|
|
|
2
|
166
|
|
|
4
|
332
|
|
|
8
|
664
|
|
|
16
|
1328
|
BAB III
PENUTUP
A.
Simpulan
Sistem bilanganMesir kuno terbagi
menjadi dua, yaitu : sistem bilanganhierogliphs dan sistem bilangan hieratic.
Keduanya sama – sama digunakan dalam bangsa Mesir kuno. Sistem
bilanganhierogliphs terdiri dari 7 simbol sedangkan sistem bilangan hieraticterdiri
dari 36 simbol. Didalam sistem bilangan Mesir kuno juga terdapat pengoperasian
bilangan Mesir, seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
B.
Saran
Saran
dari kelompok kami untuk mahasiswa khususnya pendidikan matematika untuk bisa
mengenal angka – angka didunia khususnya Mesir. Tujuannya agar kita mengetahui system
bilangan yang ada pada zaman Mesir kuno dan untuk menambah wawasan.
DAFTAR
PUSTAKA
Haza’a, Salah Kaduri dkk.2003.Sejarah Matematika Klasik dan Modern.Yogyakarta.UAD PRESS
Sign up here with your email
ConversionConversion EmoticonEmoticon